幾種數學模型在管理決策中的簡單應用

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內容摘要

由管理決策學理論的發展歷程，我們可以知道，數學是推動決策理論發展的重要支柱。并且，合適數學模型的建立是合理解決現實決策問題之關鍵。通過數學模型，能較準確地測定該模型內各要素之間的數量關系，以供人們做出分析、預報、決策或者控制。本文通過列舉數學模型在管理決策領域中幾個方面的應用，意在引起大家對數學模型的重視，以便保證最優地解決經濟管理領域中所反映的問題，做出較好的決策，創造出最大的經濟效益。

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幾種數學模型在管理決策中的簡單應用

一、模型介紹

（一）、利用期望值解決風險型決策問題

處理風險型決策問題，簡易可行的方法是利用期望收益最大的原則進行方案選擇。即進行備選方案的收益（或損失）比較，選擇收益（或損失）最大（最小）的方案。實例如下，
設某一風險型決策問題的收益表如下
備選方案	狀態1（P1=0.3）	狀態2(P2=0.7)
A	10000	15000
B	0	30000
則有：  E(A)=10000*0.3+15000*0.7=3000+10500=13500
E(B)=0*0.3    +30000*0.7=0   +21000=21000
所以，我們根據期望收益最大原則選擇方案B。

（二）、利用極值存在條件求最大利潤的產出水平

生產經營者要根據成本情況和銷售情況確定最佳產量，取得最大利潤。因此，選取簡單易行的數學模型就顯得很有必要。而利用極值存在的必要條件和充分條件求解最大利潤的產量則是一個常用的方法。
實例如下，
設某一產商生產某產品的固定成本幾乎可以忽略不計，邊際成本與邊際收益函數分別為：
 
又極值存在的必要條件，可知MC=MR，解得 ，
所以取

（三）、利用shapley值法建立收益合理分配模型

n個人從事某項經濟活動，對于他們之中若干人組合的每一種合作，都會得到一定的效益。當人們之間的利益是非對抗性時，合作中人數的增加不會引起效益的減少。這樣，全體n個人的合作將帶來最大效益，n個人的集體及各種合作的效益就構成n個合作對策。Shapley值是分配這個最大效益的一種方案。
1、shapley值定理的描述。
設 是 人合作對策，則存在唯一的一組shapley值：
 
 表示第 個伙伴企業從聯盟整體中分配到的利益;  表示包含有伙伴企業 的一切聯盟； 表示聯盟 的規模，即 中所含企業的數量； 表示聯盟 的利益； 表示聯盟 中如果沒有企業 參加時的利益;顯然，可以注意到：表示聯盟S中有 參加的利益與沒有 參加的利益差值，即表示伙伴企業 對聯盟 的貢獻。把伙伴企業 對它所參加的聯盟的所有貢獻加起來便得到伙伴企業 所應分得的利潤。把這樣一種利潤分配方法稱為Shapley值利益分配法。
2、實例分析
舉例如下：甲乙丙三人經商。若單干，每人僅能獲利2元；甲乙合作可獲利6元；甲丙合作可獲利8元；乙丙合作可獲利4元，三人合作則可獲利10元。問三人合作時，怎樣合理地分配10元的收入？
將三企業的聯盟記為： ，且有I的特征函數為：
 
依據上面的計算法則可得：

（四）、利用D-S證據理論合成法則進行專家意見合成

證據理論（或稱 Dempster-Shafer 理論）是從概率論發展而來的一種樣本空間度量理論，它最早始于 Dempster 關于上下概率分布簇的研究，Shefer在1976年給出嚴格的數學理論并指出信任函數可以表示不確定性知識及其推理。對比經典概率論的完整理論體系，證據理論的兩個基本的證據度量函數即信任函數和似然函數作為概率函數的推廣，它們成立的條件弱于概率函數（不需要了解命題的先驗概率），具有直接表達“不確定性”的能力，對不確定性問題的處理具有更大的靈活性和更廣泛的應用領域。
1、D-S證據理論合成法則
設 和 是同一識別框架 上的兩個信度函數， 和 分別是其對應的基本可信度分配， 和 的焦元（若 且 ，則稱 為焦元）分別為 和 ，設： 
那么，由下式定義的函數 是基本可信度分配
  
其中，記作 
2、實例說明
假設兩位專家認為某一患者得三種病 的基本概率賦值函數為：
               
              
我們通過合成法則計算得， 
所以，可得，           
即患者得三種病 的可能值為：

二、上述模型的改進與綜合應用

在實際情況中，卻很難找到一個能用單一數學模型來解決的問題。這樣，就需要我們有分析辨別問題的能力，靈活應用數學模型，才能達到合理解決問題的目的。只有真正掌握了這些模型，才能對其進行綜合應用，更好的與實際問題相結合，達到我們預期的效果。

一、	極值法和期望值法的綜合利用模型

設一家企業有 種經營方案，且每一種方案有 種收益可能，收益函數分別為： 。當采用第 種方案時，各種收益的可能性為 ，其中， ，我們可以綜合利用兩種方法進行方案選擇。
利用期望收益的方法，可得第 種方案期望收益為：
  ，  
我們對每一個函數 進行求導，得到 （ ），
并對各個 （ ）進行升序排列，得到 為所求最大收益值，且對應的第 種方案為最優選擇方案。
進一步地，如果各個備選方案構成一個完備事件組的話，且各個備選方案的概率分別是： 。
那么，這個企業的期望收益為：
 
如果將問題的描述做如下轉化：
我們設決策者對每一個方案的風險容忍度為： 。此時，備選方案的風險容忍度概率賦值集 可以不是完備事件組的概率賦值，主要用來描述了決策者對每一種方案的風險意識。這樣，各種方案的期望收益分別為： 。
當兩種方案的期望收益相等時，即
 且 。此時，在風險容忍度賦值不變的情況下，我們認為這兩種方案無差異。若有， 增大， 不變，則 ，我們可以稱 為方案 相對于方案 的風險容忍度轉折點。兩兩比較，確定各個方案的風險容忍度轉折點，我們可以對決策者的風險意識進行靈敏度分析，并且可以劃定每一個方案相對于其他任一方案的風險容忍度可行域。其實，對于單一的期望收益決策法模型，我們也可以做上述的分析。
    
二、D-S證據理論合成法則的嵌套使用

在很多專家決策問題中，我們不僅僅需要對待決策問題集進行專家評議，并且需要對專家的權威可信度作出客觀的評價。所以，借鑒層次分析法的思路，我們可以在多個層次上使用D-S合成法則，以便得到更為接近實際情況的決策結果。即先對專家的權威度進行評價，然后做為權重指數對專家的評價進行修正。這里，我們可以稱之為，D-S證據理論合成法則的嵌套。
在上面例子的基礎上，如果考慮專家權威度的話，我們對問題的描述做這樣修改：
假設兩位專家在五年中對三種病 的誤診率集分別為：
  我們把決策問題集也轉化為：｛A病的可能，B病的可能，C病的可能，未知｝，這樣，問題集中加入未知這個元素，會讓問題的描述更為客觀。
    首先，對專家關于A病的權威度進行測定。
在已知專家1在五年中的誤診率集情況下，可以把五年中的誤診率認為是另外五位專家對專家1關于A病誤診率的判斷。這樣的話，就把問題描述為：
       
      
      
      
           
所以，應用合成法則，我們可以計算出專家1關于A病的權威度為：
 
同理可得，
        
同樣可以計算得，專家2關于三種病的權威度為：
               
所以，問題集轉化為：
            
           
利用合成法則，得到  
所以，可得，

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